สือการสอนคณิตศาสตร์

คณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวัน

คณิตศาตร์กับชีวิตประจำวัน

การคำนวณดอกเบี้ย โดยเฉพาะดอกเบี้ยทบต้น จำเป็นต้องใช้เครื่องคิดเลข ซึ่งการได้รู้จักชนิดของเครื่องคิดเลข และใช้มันอย่างมีประสิทธิภาพ จะอำนวยประโยชน์ต่อการคำนวณดอกเบี้ยเป็นอย่างยิ่ง ดังนั้น ในเอกสารชุดนี้ จึงเริ่มต้นด้วยการตรวจสอบชนิดของเครื่องคิดเลข เทคนิคการใช้เครื่องคิดเลข และแนวทางการทำข้อสอบเรื่องดอกเบี้ย เพื่อให้ผู้เรียนมีความคุ้นเคยกับการใช้เครื่องคิดเลขในการคำนวณดอกเบี้ย การสอบปลายภาคเรื่องดอกเบี้ยในวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐานทุกครั้งจำเป็นต้องใช้สูตรทั้งหมดที่ได้นำมาเสนอนี้ ดังนั้น หากนักศึกษาที่เรียนวิชาดังกล่าวได้ฝึกใช้เครื่องคิดเลขตามคำแนะนำในเอกสารชุดนี้แล้ว ผู้เขียนเชื่อว่านักศึกษาจะสามารถคำนวณดอกเบี้ยได้ทุกคน สรุปสูตรดอกเบี้ย (Interest: I) 1. ดอกเบี้ยคงต้น (simple) ดอกเบี้ยคงต้นคือ I = prt เงินรวมคือ S = P + I = P(1+rt) โดย t มีหน่วยเป็นปีเสมอ 2. ดอกเบี้ยทบต้น (compound) S =    , I = S – P และ เมื่อ      , c คือ จำนวนครั้งที่ทบต้นในเวลา 1 ปี และ r e คือ อัตราดอกเบี้ยที่มีผล (effective) ในเวลา 1 ปี 3. เงินผ่อน (installment) เงินผ่อนรายงวดแบบไม่ลดต้นไม่ลดดอก (flat rate) คือ R = เงินผ่อนรายงวดแบบลดต้นลดดอกคือ R = เงินต้นคงเหลือหลังผ่อนไปแล้ว k งวดคือ P = ดอกเบี้ยคือ I = nR – P

สูตรของวงกลม

วงกลม

1. จุดศูนย์กลาง (0 , 0) , รัศมี = r
	x 2 + y 2 = r 2
2. จุดศูนย์กลาง (h , k) , รัศมี = r
	(x - h) 2 + (y - k) 2 = r 2
3. รูปทั่วไป   x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0
4. ความยาว เส้นสัมผัส      1)   เส้นสัมผัสลากจากจุด P(x 1 , y 1 ) ภายนอกวงกลมไปยังจุดสัมผัส และมีจุดศูนย์กลาง (h, k) , รัศมี = r
2)   เส้นสัมผัสลากจากจุด P(x 1 , y 1 ) ภายนอกวงกลมไปสัมผัสวงกลมที่มีสมการ x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0
5. สมการ เส้นสัมผัส วงกลมมีจุดศูนย์กลาง (h, k) , P (x 1 , y 1 )  เป็นจุดสัมผัส
	(x 1 - h) (x - h) + (y 1 - k) (y - k)  =  r 2

คณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวัน

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

ใน ชีวิตประจำวันเราอยู่กับ เหตุการณ์ ต่าง ๆ และมีคำถามอยู่ในใจตลอดเวลา เช่น                                - พรุ่งนี้ฝนจะตกหรือไม่                                - บางทีเราต้องไปทำงานวันนี้                                - นายกอาจลาออกและยุปสภาเร็ว ๆ นี้                                - ทีมฟุตบอลทีมใดจะได้เป็นแชมป์โลก                                - ใครชนะเลือกตั้งในสมัยหน้า

คำว่า " ความน่าจะเป็น " หรือ "probability" เป็นวิธีการวัดความไม่แน่นอนในรูปแบบคณิตศาสตร์ เช่น เมื่อโยนเหรียญ ความน่าจะเป็นของเหรียญที่จะออกหัวหรือก้อยเท่ากับ 0.5 ดังนั้นเหตุการณ์ต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นในอาณาคตเป็นสิ่งที่ยากจะคาดเดาได้ถูกต้องร้อยเปอร์เซนต์ นักอุตุนิยมวิทยาจึงใช้หลักการของความน่าจะเป็นเข้ามาทำนาย เช่น ความน่าจะเป็นของการเกิดฝนตกใน กรุงเทพมหานคร ในวันพรุ่งนี้มีค่าเท่ากับ 0.7 ความน่าจะเป็น เป็นค่าที่อาจมีความหมายที่หลายคนเข้าใจได้ไม่ยาก ความน่าจะเป็น เป็นศาสตร์ที่มีความละเอียดอ่อนที่จะนำไปประยุกต์ใช้ โดยเฉพาะเหตุการณ์ในชีวิตประจำวันต่าง ๆ ความน่าจะเป็นมีการกำหนดค่าเป็นเศษส่วนหรือเป็นเปอร์เซนต์หรือให้มีค่าระหว่าง 0 ถึง 1 เช่น ถ้านำลูกเต๋า ทอยลงบนพื้น โอกาสที่จะปรากฎหน้า 1 มีค่าเท่ากับ 1/6 หรือ 16.6 เปอร์เซนต์ ถ้าโยนเหรียญหนึ่งเหรียญ และให้ตกบนพื้น (โยนแบบยุติธรรม) โอกาสที่จะปรากฏหัวเท่ากับ 1/2 หรือ 0.5

เกมคณิตศาสตร์

เกมชวนคิด ช่วยคิดใส่ตัวเลขในวงกลมให้ถูกต้องด้วยจ้ะ
เกมเรียงตัวเลข	เกม OX

ประวัตินักคณิตศาสตร์ของโลก

	แบลส ปาสกาล (Blaise Pascal) ประมาณ ค.ศ. 1623-1662 ประวัติ ปาสกาลเกิดที่เมือง Chermont มณฑล Auvergne ประเทศฝรั่งเศส เมื่อวันที่ 16 มิถุนายน ค.ศ. 1623 บิดาเป็นนักคณิตศาสตร์และผู้พิพากษา ปาสกาล มีความเป็นอัจฉริยะทางคณิตศาสตร์ตั้งแต่เด็ก อายุ 12 ปี ท่านได้พัฒนาเรขาคณิต เบื้องต้นด้วยตนเอง อายุ 14 ปี ท่านได้เข้าร่วมประชุมกับนักคณิตศาสตร์ฝรั่งเศส อายุ 16 ปี ท่านได้พัฒนาทฤษฎีบทที่สำคัญในวิชาเราขาคณิตโพรเจคตีฟ และเมื่ออายุ 19 ปี ท่านได้พัฒนาเครื่องคิดเลข ภายหลังจากที่ท่านประสบอุบัติเหตุที่ Neuilly ท่านหันความสนใจไปทางศาสนา และปรัชญา ไม่เช่นนั้นท่านคงเป็นนักคณิตศาสตร์ ที่รุ่งโรจน์ที่สุดคนหนึ่ง ผลงาน 1. งานเขียน Essay pour les coniques (1640) ซึ่งสรุปทฤษฎีบท เกี่ยวกับเรขาคณิตโพรเจกตีฟ ที่ท่านได้พัฒนามาแล้วเมื่ออายุได้ 16 ปี 2. งานเขียน Traite du traingle arithmetique (1665) ซึ่งเกี่ยวกับ "Chinese triangle" หรือในอดีตนิยมเรียกว่า "Pascal triangle" เพราะคิดว่า Pascal เป็นผู้คิดเป็นคนแรก แต่ที่แท้จริงได้มีชาวจีนพัฒนามาก่อนแล้ว 3. ริเริ่มพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นในปี ค.ศ. 1654 ร่วมกับ Fermat โดยใช้วิธีที่แตกต่างกัน 4. ศึกษาเส้นโค้ง Cycloid

ประวัตินักคณิตศาสตร์ของโลก

ปิแยร์ เดอ แฟร์มาต์ (Pierre de Fermat) ประมาณ ค.ศ. 1601-1665 ประวัติ แฟร์มาต์เกิดใกล้เมือง Toulouse ประเทศฝรั่งเศส ในปี 1601 และถึง แก่กรรมที่เมือง Castres ในปี 1665 บิดาเป็นพ่อค้าเครื่องหนัง ในวัยเด็กศึกษาอยู่ กับบ้าน แฟร์มาต์มีอาชีพเป็นนักกฎหมาย เมื่ออายุ 30 ปี ได้รับการแต่งตั้งให้เป็นที่ ปรึกษากฎหมายอขงองค์การบริหารส่อนท้องถิ่นของเมือง Toulouse ท่านได้ใช้ เวลาว่างศึกษาค้นคว้าคณิตศาสตร์ เป็นสื่อกลางในการติดต่อกับนักคณิตศาสตร์ ที่มีชื่อเสียงในสมัยนั้น มีส่วนในการพัฒนาคณิตศาสตร์ในหลายสาขา นับได้ว่าเป็น นักคณิตศาสตร์สมัครเล่นที่มีชื่อเสียงที่สุด ผลงาน 1. ริเริ่มพัฒนาเรขาคณิตวิเคราะห์ ในระยะเวลาใกล้กันกับเดส์การ์ตส์ 2. ริเริ่มวิธีหาเส้นสัมผัสเส้นโค้ง หาค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน 3. ริเริ่มพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็น ร่วมกับปาสกาล 4. พัฒนาทฤษฎีบทต่าง ในทฤษฎีจำนวน เช่น Fermat's two square theorem : ทุกจำนวนเฉพาะในรูป 4n + 1 สามารถเขียน ในรูปผลบวกของจำนวนเต็มยกกำลังสองได้คู่หนึ่งและคู่เดียวเท่านั้น Fermat's theorem : ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะและ n เป็นจำนวนเต็มบวก จำได้ว่า p หาร n p - n ลงตัว

นักคณิตศาสตร์ยุคลิดแห่งอะเล็กซานเดรีย (Euclid of Alexandria)

ยุคลิดแห่งอะเล็กซานเดรีย (Euclid of Alexandria) ประมาณ 450 - 3800 ก่อนคริสต์ศักราช ประวัติ ยุคลิคเป็นชาวกรีก ศึกษาที่สถาบันของ Plato ที่กรุงเอเธนส์ ท่านได้รับการ แต่งตั้งเป็นศาสตราจารย์และหัวหน้าภาควิชาคณิตศาสตร์คนแรกที่มหาวิทยาลัยอะเล็กซานเดรีย ซึ่งเป็นมหาวิทยาลัยแห่งแรกในโลก ตั้งขึ้นประมาณ 300 ปีก่อนคริสต์ศักราช ผลงาน ผลงานชิ้นสำคัญของยุคลิดคือการเขียนตำราทางคณิตศาสตร์และดาราศาสตร์ ผลงานที่ยังคงอยู่ในปัจจุบัน 5 ชิ้น คือ Division of Figures , Data , Phaenomena , Optic และ Elements Elements ประกอบด้วยหนังสือ 13 เล่ม และทฤษฎีบท 465 ทฤษฎีบท เป็นต้น แบบของตำราคณิตศาสตร์ โดยใช้วิธีนิรนัย (Deduction) เนื้อหาส่วนใหญ่จะเกี่ยวกับเรขาคณิต แบบยุคลิด แต่ก็มีเนื้อหาคณิตศาสตร์อื่น ๆ ด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีจำนวน

นักคณิตศาสตร์ ปีทาโกรัส : Pythagoras

เกิด        582 ก่อนคริสต์ศักราช ที่เมืองซามอส (Samos) ประเทศกรีซ (Greece)
เสียชีวิต 507 ก่อนคริสต์ศักราช ที่เมืองเมตาปอนตัม (Metapontum)
ผลงาน   - สร้างสูตรคูณหรือตารางปีทาโกเรียน (Pythagorean Table)
             - ทฤษฎีบทเรขาคณิตที่ว่า "ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก
                เท่ากับผลบวกของกำลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก"
             - สมบัติของแสง และการมองวัตถุ
             - สมบัติของเสียง

          ปีทาโกรัส เป็นที่รู้จักกันดีในฐานะของนักคณิตศาสตร์ผู้คิดค้นสูตรคูณ หรือตารางปีทาโกเรียน (Pythagorean Table)
และทฤษฎีบทในเรขาคณิตที่ว่า "ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ กำลังสองของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลบวก
ของกำลังสองของความยาวของด้านประกอบมุมฉาก" ซึ่งทฤษฎีทั้งสองนี้เป็นที่ยอมรับ และใช้กันมาจนปัจจุบันนี้

เคล็ดลับการอ่านหนังสืบสอบ

10 เคล็ดลับ จำง่าย การอ่านหนังสือสอบ CoolYellLaughing
1. ปิด ทีวี คอมพิวเตอร์ อินเตอร์เน็ต mp3 มีสติอยู่กับหนังสือ
2. นั่งสมาธิสัก 5 นาที
3. อ่านหนึ่งรอบ แล้วสรุป โดยไม่เปิดหนังสือ
4. เช็คคำตอบ
5. อ่านอีกหนึ่งรอบ
6. สรุปใหม่ เปิดหนังสือได้เอาไว้อ่าน
7. ถ้าทำเป็น Mind Mapping จะอ่านง่ายขึ้น
8. มีเอกสารอะไรที่ครูแจก อย่าคิดว่าไม่สำคัญ
9. ท่องในส่วนที่ครูพูดย้ำบ่อยๆ อย่างน้อย 2 ครั้ง/คาบ
10. ก่อนวันสอบ ห้ามหักโหมอ่านหนังสือถึงเที่ยงคืน เพราะสมองจะไม่รับรู้อะไรทั้งสิ้น
-------------------------------------------------------------------------------------------------

คณิตศาสตร์(ปัญหาเชาว์) [บทความที่6]

คำถาม
สมมติว่ามีถังตวงน้ำโบราณอยู่ 2 ขนาดคือ 7 ลิตร และ 5 ลิตร (ไม่มีสเกลบอกระดับ แต่รู้ว่าถ้าตวงเต็มถังจะได้ 7 ลิตร และ 5 ลิตร) ถ้าเราต้องการตวงน้ำขนาด 6 ลิตร
โดยมีให้ใช้แค่ถังตวงน้ำ 2 ถัง ขนาด 7 ลิตร และ 5 ลิตร โดยไม่มีถังสำหรับพักน้ำ จะทำอย่างไร
เฉลย >>
โจทย์ข้อนี้ต้องใช้ความคิดนิดนึงนะครับ สมมติให้ถังขนาด 7 ลิตร ชื่อว่าถัง A และ ถังขนาด 5 ลิตรชื่อว่าถัง B
ขั้นแรกเราต้องตวงน้ำ 7 ลิตรในถัง A ให้เต็มเสียก่อน (A มี 7 ลิตร , ฺB มี 0 ลิตร)
ขั้นที่สองต้องเทน้ำจากถัง A ไปใส่ให้เต็มถัง B ทำให้ถัง A เหลือน้ำเพียงแค่ 2 ลิตรเท่านั้น (A มี 2 ลิตร . B มี 5 ลิตร)
ขั้นที่สามเทน้ำจากถัง B ทิ้งให้หมด (A มี 2 ลิตร , ฺB มี 0 ลิตร)
ขั้นที่สี่เทน้ำจากถัง A ทั้งหมดไปยังถัง B (A มี 0 ลิตร , B มี 2 ลิตร)
ขั้นที่่ห้าเติมน้ำให้เต็มถัง A ขนาด 7 ลิตร (A มี 7 ลิตร , B มี 2 ลิตร)
ขั้นที่หกเทน้ำจากถัง A ไปลงถัง B ให้เต็มถัง ทำให้ถัง A เหลือน้ำเพียง 4 ลิตรเท่านั้น (A มี 4 ลิตร , B มี 5 ลิตร)
ขั้นที่เจ็ดเทน้ำจากถัง B ทิ้งให้ หมด (A มี 4 ลิตร , ฺB มี 0 ลิตร)
ขั้นที่แปดเทน้ำจากถัง A ไปยังถัง B ทั้งหมด (A มี 0 ลิตร , B มี 4 ลิตร)
ขั้นที่เก้าเติมน้ำให้เต็มถัง A (A มี 7 ลิตร , B มี 4 ลิตร)
ขั้นสุดท้ายเทน้ำจากถัง A ไปลงถัง B ให้เต็มถัง จะได้ว่า สุดท้ายแล้ว ถัง A จะเหลือน้ำ 6 ลิตรพอดี (A มี 6 ลิตร , B มี 5 ลิตร)

คณิตศาสตร์(ปัญหาเชาว์) [บทความที่5]

คำถาม
จงใช้เครื่องหมาย + - × ÷ เพื่อทำให้ เลข 7 , 7 , 3 , 3 มีค่าเท่ากับ 24
เฉลย >> ค่อนข้างซับซ้อนนะครับสำหรับคนที่ไม่ค่อยเจอปัญหาสไตล์นี้
((3 ÷ 7) + 3) × 7 = 24 ครับ

คณิตศาสตร์(ปัญหาเชาว์) [บทความที่4]

กำหนดให้มีบุคคลอยู่ 3 จำพวก คือ ตำรวจจะพูดแต่ความจริง , โจรจะพูดโกหก , ประชาชน
จะพูดจริงบ้างโกหกบ้างแล้วแต่สถานการณ์
A : ผมไม่ใชู่้ตำรวจ
ฺB : ผมไม่ใช่โจร
C : ผมไม่ใช่ประชาชน
ถามว่า A,B,C ใครเป็นตำรวจ , โจรและประชาชน

เฉลย >> A ต้องเป็นประชาชนเท่านั้นครับ เพราะ ถ้า A เป็นตำรวจ A จะพูดโกหกซึ่งขัดกับตรรกะ
แต่ถ้า A เป็นโจร A ก็จะพูดความจริงซึ่งขัดกับตรรกะเช่นกัน
ดังนั้น A จึงเป็นได้อย่างเดียวคือ ประชาชนเท่านั้นครับ
C ต้องเป็นตำรวจเท่านั้นครับ เพราะถ้า C เป็นโจร C จะพูดความจริงซึ่งขัดกับตรรกะ
ดังนั้น C จึงเป็นตำรวจครับ
สุดท้ายก็จะได้ว่า B เป็นโจรครับ

คณิตศาสตร์(ปัญหาเชาว์) [บทความที่3]

คำถาม
จงเติมเครื่องหมาย  +  -  ×  ÷  แทรกลงไปยังตัวเลขต่อไปนี้เพื่อให้มีค่าเท่ากับ 100
1 2 3 4 5 6 7 8 9
เฉลย >> 123-45-67+89

คณิตศาสตร์(ปัญหาเชาว์) [บทความที่ 2]

คำถาม
รถวิ่งจากจุด A ไปจุด B ด้วยอัตราเร็ว 60 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
จากนั้นวิ่งกลับจากจุด B มาจุด A ด้วยอัตราเร็ว 40 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
ถามว่ารถคันนี้วิ่งด้วยอัตราเร็วเฉลี่ยเท่าไร ?
คำตอบ
โจทย์ข้อนี้หลายๆคนคงจะนำ 40 + 60 แล้วหาร 2 ตอบ 50 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
แต่คำตอบนั้นเป็นกับดักครับเพราะว่ารถวิ่งด้วยอัตราเร็ว 40 กิโลเมตรต่อชั่วโมงจะต้องใช้เวลานานกว่า
วิ่งด้วยอัตราเร็ว 60 กิโลเมตรต่อชั่วโมงแน่นอนดังนั้นเราจะนำมาเฉลี่ยแบบธรรมดาเลยไม่ได้ครับ
เราจะต้องทำการเฉลี่ยแบบถัวเฉลี่ย โดยมีวิธีการดังนี้ครับ
ก่อนอื่นให้ระยะทางทั้งหมดยาว x กิโลเมตร
จะได้ว่า ขาไปรถจะใช้เวลาวิ่งทั้งสิ้น x / 60 วินาที
และขากลับรถจะใช้เวลาวิ่งเท่ากับ x /40 วินาที
จากสูตร อัตราเร็วเท่ากับ ระยะทางหารด้วยเวลา
เมื่อเราคิดทั้งขาไปและขากลับได้ว่า
อัตรา้เร็วเฉลี่ย = ระยะทางทั้งหมด / เวลาทั้งหมด
v = ( x + x )  /  ((x / 60) + (x / 40))
v = 2x / (100x / 2400)
v = 48
ดังนั้นรถคันนี้จะมีอัตราเร็วเฉลี่ยเท่ากับ 48 กิโลเมตรต่อชั่วโมงครับ

คณิตศาสตร์(ปัญหาเชาว์) [บทความที่ 1]

เงินหายไปไหน 10 บาท
มีผู้ชาย 3 คน ไปทานอาหารร่วมกันที่ร้านอาหารร้านหนึ่ง
พอถึงตอนเช็กบิล บ๋อยเดินมาบอกว่า 250 บาทครับ
ชายทั้ง 3 คน จึงออกเงิน คนละ 100 บาท
สักพัก บ๋อยกลับมาพร้อมเหรียญสิบ 5 เหรียญ
ทั้งสามคน จีงหยิบเงินทอนไว้ คนละ 10 บาท
เหลือ 20 บาท จึงให้เป็นทิป กับบ๋อยไป
ปัญหามีอยู่ว่า
ชายสามคน ออกเงินคนละ 90 บาท   90 x 3 = 270 บาท
ให้ทิปบ๋อยไป 20 รวมเป็น 290 บาท
แล้วเงินหายไปไหนอีก 10 บาท!!!  ?
คำตอบ
เงินไม่ได้หายไปไหน แต่เรานำเรื่องที่ไม่เกี่ยวข้องกันมายุ่งด้วย จึงทำให้สับสน ก็เลยเชื่อเป็นตุเป็นตะ ว่าเงินหายไปจริงๆด้วย
ความเข้าใจที่ถูกต้อง กับเหตุการณ์นี้ ก็คือ
1. ออกเงินคนละ 90 บาท x 3 คน = 270 บาท
2. ค่าอาหาร 250 บาท
3. 270 - 250 = 20 บาท เป็นทิปบ๋อย